【泰勒公式常用展开式】泰勒公式是数学分析中的一个重要工具，用于将一个光滑函数在某一点附近用多项式形式进行近似表示。这种展开方式不仅有助于理解函数的局部行为，还在数值计算、物理建模和工程应用中有着广泛的应用。本文将总结常见的泰勒展开式，并以表格形式呈现，便于查阅与记忆。
一、泰勒公式简介
泰勒公式的基本思想是：如果一个函数 $ f(x) $ 在点 $ x = a $ 处具有任意阶导数，则可以将其表示为以下形式：
$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
$$
其中，$ f^{(n)}(a) $ 表示函数在 $ a $ 点的第 $ n $ 阶导数。当 $ a = 0 $ 时，该展开称为麦克劳林公式。
二、常用函数的泰勒展开式（以 $ x = 0 $ 为中心）
| 函数 | 泰勒展开式（麦克劳林级数） | 收敛区间 | ||
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} $ | $ (-1, 1] $ | ||
| $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} $ | $ [-1, 1] $ | ||
| $ \frac{1}{1-x} $ | $ 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} x^n $ | $ (-1, 1) $ | ||
| $ (1+x)^k $ | $ 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots $ | $ | x | < 1 $ |
三、小结
以上是几种常见的函数在 $ x = 0 $ 处的泰勒展开式，它们在数学分析、微积分以及实际应用中非常有用。掌握这些展开式有助于快速估算函数值、求解极限、分析函数性质等。
需要注意的是，泰勒展开式的收敛性取决于具体函数及其展开点。某些函数可能只在特定区间内有效，因此使用时应结合实际问题判断适用范围。
通过表格形式的整理，能够更直观地对比不同函数的展开形式，提高学习和应用效率。
