【常用微分公式是什么】在数学中，微分是研究函数变化率的重要工具，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。掌握一些常用的微分公式，有助于快速求解导数问题。以下是一些常见的微分公式总结，便于查阅和学习。
一、基本微分公式
| 函数形式 | 导数（微分） |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、三角函数的微分公式
| 函数形式 | 导数（微分） |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
三、反三角函数的微分公式
| 函数形式 | 导数（微分） |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ |
| $ f(x) = \text{arccot } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2} $ |
四、复合函数与链式法则
对于复合函数 $ y = f(g(x)) $，其导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
这是微分中非常重要的规则，适用于大多数复杂函数的求导过程。
五、乘积法则与商法则
- 乘积法则：若 $ y = u(x)v(x) $，则
$$
y' = u'v + uv'
$$
- 商法则：若 $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $，则
$$
y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$
六、高阶导数简介
除了基本的一阶导数外，还可以对函数进行多次微分，得到二阶、三阶等高阶导数。例如：
- $ f''(x) = \frac{d^2f}{dx^2} $
- $ f'''(x) = \frac{d^3f}{dx^3} $
这些在分析函数的凹凸性、极值点等方面有重要作用。
总结
微分公式是数学学习中的基础内容，熟练掌握这些公式能够提高解题效率，并为后续的积分、微分方程等内容打下坚实的基础。通过不断练习和应用，可以更深入地理解微分的意义和用途。
