【2n的阶乘是n的阶乘2倍吗】在数学中，阶乘是一个常见的概念，表示为 $ n! $，即从1乘到n的所有正整数的积。例如，$ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 $。
然而，很多人可能会误以为 $ (2n)! $ 就是 $ n! $ 的两倍，也就是 $ 2 \times n! $。实际上，这个理解是错误的。下面我们通过具体的例子和公式来分析这个问题。
一、基本定义
- 阶乘的定义：
$ n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 1 $
- (2n)! 的含义：
$ (2n)! = (2n) \times (2n - 1) \times (2n - 2) \times \cdots \times 1 $
显然，$ (2n)! $ 是一个比 $ n! $ 大得多的数，因为它包含了更多的乘数。
二、举例说明
我们以几个具体数值为例，计算 $ (2n)! $ 和 $ 2 \times n! $ 的关系：
| n | n! | 2n | (2n)! | 2 × n! | 是否相等？ |
| 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | ✅ |
| 2 | 2 | 4 | 24 | 4 | ❌ |
| 3 | 6 | 6 | 720 | 12 | ❌ |
| 4 | 24 | 8 | 40320 | 48 | ❌ |
| 5 | 120 | 10 | 3628800 | 240 | ❌ |
从表中可以看出，只有当 $ n = 1 $ 时，$ (2n)! = 2 \times n! $ 成立；而在其他情况下，两者并不相等，而且 $ (2n)! $ 明显大于 $ 2 \times n! $。
三、数学解释
我们可以用数学方法来解释为什么 $ (2n)! \neq 2 \times n! $。
考虑 $ (2n)! $ 的展开式：
$$
(2n)! = (2n)(2n - 1)(2n - 2)\cdots(n + 1)n!
$$
也就是说，$ (2n)! $ 可以看作是从 $ n+1 $ 到 $ 2n $ 的所有整数乘以 $ n! $。因此，它不仅仅是 $ n! $ 的两倍，而是包含了更多项的乘积。
四、总结
- 结论：
$ (2n)! $ 并不是 $ n! $ 的两倍，而是一个远远大于 $ 2 \times n! $ 的数。
- 例外情况：
当 $ n = 1 $ 时，$ (2n)! = 2! = 2 $，而 $ 2 \times 1! = 2 $，此时两者相等。
- 关键点：
阶乘的增长速度非常快，因此 $ (2n)! $ 的增长远超过 $ 2 \times n! $。
最终答案：
不是，$ 2n $ 的阶乘（即 $ (2n)! $）并不是 $ n $ 的阶乘（即 $ n! $）的两倍，只有在 $ n = 1 $ 时才成立。
