【基础解系如何求】在高等代数中，线性方程组的解结构是一个重要的研究内容。对于齐次线性方程组而言，其解空间是一个向量空间，而“基础解系”就是这个向量空间的一组基。掌握如何求解基础解系，是理解线性方程组解结构的关键。
一、基础解系的定义
设齐次线性方程组为：
$$
A\mathbf{x} = \mathbf{0}
$$
其中 $ A $ 是一个 $ m \times n $ 的矩阵，$ \mathbf{x} $ 是一个 $ n $ 维列向量。若该方程组的解集合为 $ S $，则 $ S $ 是一个向量空间，称为解空间。若存在一组向量 $ \{\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \dots, \mathbf{x}_r\} $，使得它们线性无关，并且能表示解空间中的任意一个解，则称这组向量为该方程组的一个基础解系。
二、求基础解系的步骤
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 将系数矩阵 $ A $ 化为行最简形（即阶梯形矩阵） |
| 2 | 确定主变量（即含有主元的变量）和自由变量（未被主元控制的变量） |
| 3 | 对每个自由变量赋值为 1 或 0，其他自由变量设为 0，依次求出对应的解向量 |
| 4 | 所得的解向量即为一组基础解系 |
三、示例分析
考虑如下齐次线性方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\
x_1 - x_2 + x_3 = 0
\end{cases}
$$
对应的系数矩阵为：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1
\end{bmatrix}
$$
将 $ A $ 化为行最简形：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & -2 & 0
\end{bmatrix}
\Rightarrow
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\Rightarrow
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$
主变量为 $ x_1, x_2 $，自由变量为 $ x_3 $。
令 $ x_3 = t $，则：
- $ x_1 = -t $
- $ x_2 = 0 $
所以通解为：
$$
\mathbf{x} = t \cdot \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
$$
因此，基础解系为：
$$
\left\{ \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}
$$
四、总结
| 内容 | 说明 |
| 基础解系 | 解空间的一组基，用于表示所有解 |
| 求解步骤 | 化简矩阵 → 确定主变量与自由变量 → 赋值求解 |
| 通解形式 | 由基础解系的线性组合构成 |
| 应用 | 用于求解线性方程组的解结构，便于进一步分析 |
通过以上方法，可以系统地求解齐次线性方程组的基础解系，进而理解其解空间的结构。这是线性代数中的核心内容之一，适用于数学、物理、工程等多个领域。
