在统计学中，当我们需要对两个独立样本进行分析时，常常会遇到需要计算它们合并后的方差的问题。这通常发生在我们希望将两组数据视为一个整体，并且假设它们具有相同的总体方差的情况下。本文将详细介绍如何从基本原理出发，推导出两个样本合并方差的计算公式。

背景知识

首先，回顾一下样本方差的基本定义。对于一个样本 \( X = \{x_1, x_2, ..., x_n\} \)，其样本均值为：

\[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]

而样本方差则定义为：

\[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \]

这里分母使用 \( n-1 \) 是为了保证无偏估计。

问题设定

现在假设有两个独立样本 \( A = \{a_1, a_2, ..., a_m\} \) 和 \( B = \{b_1, b_2, ..., b_n\} \)，分别有大小 \( m \) 和 \( n \)。我们想要计算这两个样本合并后的方差 \( S^2 \)。

合并均值的计算

合并后的总体均值 \( \bar{X} \) 可以表示为：

\[ \bar{X} = \frac{m\bar{A} + n\bar{B}}{m+n} \]

其中 \( \bar{A} \) 和 \( \bar{B} \) 分别是样本 \( A \) 和 \( B \) 的均值。

合并方差的推导

根据样本方差的定义，我们可以写出合并样本的方差 \( S^2 \) 如下：

\[ S^2 = \frac{(m-1)s_A^2 + (n-1)s_B^2}{m+n-1} + \frac{mn}{(m+n)(m+n-1)} (\bar{A} - \bar{B})^2 \]

推导过程

1. 加权平均平方和

首先考虑每个样本内部的平方和，即 \( \sum_{i=1}^{m} (a_i - \bar{A})^2 \) 和 \( \sum_{j=1}^{n} (b_j - \bar{B})^2 \)。这些平方和分别乘以权重 \( \frac{m-1}{m+n-1} \) 和 \( \frac{n-1}{m+n-1} \)，得到加权后的总平方和。

2. 交叉项处理

由于两个样本是独立的，因此在合并时还需要考虑两者之间的差异贡献。具体来说，就是 \( (\bar{A} - \bar{B})^2 \) 的部分，这部分需要额外乘以 \( \frac{mn}{m+n} \) 来反映两组数据规模的影响。

3. 最终公式整合

将上述两部分相加即可得到最终的合并方差公式。

实际应用

该公式广泛应用于实验设计、质量控制以及数据分析等领域。例如，在医学研究中，当比较两种治疗方法的效果时，可能会收集到不同数量的患者数据，此时就需要用到这种合并方差的方法来评估整体疗效。

通过以上推导可以看出，尽管公式看起来复杂，但其逻辑清晰且易于理解。掌握了这一方法后，可以更准确地处理涉及多个样本的数据集问题。