【反证法例题】在数学中，反证法是一种常用的证明方法。它通过假设命题的否定成立，然后推导出矛盾，从而证明原命题为真。反证法常用于无法直接证明的命题，尤其在数论、几何和逻辑学中应用广泛。
以下是一些经典的反证法例题及其解答，以加表格的形式展示答案。
一、例题1：证明√2是无理数
题目描述：
证明√2不是有理数。
解题思路：
假设√2是有理数，即存在互质整数a和b（b≠0），使得√2 = a/b。根据平方运算可得：2 = a²/b² → a² = 2b²。由此可知a²是偶数，因此a也是偶数。设a=2k，则代入得(2k)² = 2b² → 4k² = 2b² → b² = 2k²，说明b也是偶数。这与a和b互质矛盾，因此假设不成立，√2是无理数。
二、例题2：证明素数有无穷多个
题目描述：
证明素数的数量是无限的。
解题思路：
假设素数只有有限个，记为p₁, p₂, ..., pₙ。构造一个数N = p₁p₂...pₙ + 1。如果N是素数，则它不在原来的列表中；如果N是合数，则它必须有一个素因数，但这个素因数也不能是p₁到pₙ中的任何一个，因为除以它们都会余1。因此，无论哪种情况都与“素数只有有限个”矛盾，故素数有无穷多个。
三、例题3：证明方程x² + y² = 3z²没有非零整数解
题目描述：
证明方程x² + y² = 3z²没有非零整数解。
解题思路：
假设存在非零整数x, y, z满足方程。考虑模3的情况，x²和y²只能是0或1（mod 3）。若x² + y² ≡ 0 (mod 3)，则x和y都必须是3的倍数。设x=3a，y=3b，代入得9a² + 9b² = 3z² → 3(a² + b²) = z² → z²是3的倍数，故z也是3的倍数。令z=3c，得到a² + b² = 3c²，重复此过程可无限下去，导致x, y, z都是3的倍数，矛盾。因此原方程无非零整数解。
四、例题4：证明三角形内角和大于180度（非欧几何）
题目描述：
在非欧几何中，证明三角形的内角和大于180度。
解题思路：
在欧几里得几何中，三角形内角和等于180度。假设在某种非欧几何中，三角形内角和等于或小于180度，那么该几何就退化为欧几里得几何，与非欧几何的定义矛盾。因此，非欧几何中三角形的内角和必须大于180度。
五、例题5：证明存在无限多个素数形式为4n+3
题目描述：
证明存在无限多个素数，其形式为4n+3。
解题思路：
假设只有有限个这样的素数，记为p₁, p₂, ..., pₙ。构造数N = 4p₁p₂...pₙ - 1。若N是素数，则它形式为4k+3，且不在原列表中；若N是合数，则它的素因数也必须是4k+3的形式，否则会与N≡-1 (mod 4) 矛盾。因此，必然存在新的素数形式为4k+3，与假设矛盾。
表格总结
| 例题编号 | 题目描述 | 解题思路简述 | 结论 |
| 1 | 证明√2是无理数 | 假设√2为有理数，推出矛盾 | √2是无理数 |
| 2 | 证明素数有无穷多个 | 假设素数有限，构造新数 | 素数有无穷多个 |
| 3 | 证明x² + y² = 3z²无非零整数解 | 假设存在解，推导出无限递降 | 无非零整数解 |
| 4 | 证明非欧几何中三角形内角和大于180度 | 假设等于或小于180度 | 内角和大于180度 |
| 5 | 证明存在无限多个4n+3形式的素数 | 假设有限，构造新数 | 存在无限多个 |
通过以上例题可以看出，反证法的核心在于“假设命题的否定成立”，并通过逻辑推理找到矛盾，从而确认原命题的正确性。这种方法不仅在数学中广泛应用，也在逻辑推理、哲学论证等领域具有重要价值。
