【三角函数公式】三角函数是数学中非常重要的一类函数，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。它们描述了直角三角形边与角之间的关系，同时也适用于单位圆和周期性现象的分析。本文将对常见的三角函数公式进行总结，并以表格形式呈现，便于查阅和理解。
一、基本三角函数定义
在直角三角形中，设一个锐角为θ，其对边为a，邻边为b，斜边为c，则有以下基本定义：
| 函数名称 | 定义式 | 说明 |
| 正弦 | sinθ = a/c | 对边与斜边的比值 |
| 余弦 | cosθ = b/c | 邻边与斜边的比值 |
| 正切 | tanθ = a/b | 对边与邻边的比值 |
| 余切 | cotθ = b/a | 邻边与对边的比值 |
| 正割 | secθ = c/b | 斜边与邻边的比值 |
| 余割 | cscθ = c/a | 斜边与对边的比值 |
二、常用三角恒等式
三角函数之间存在许多重要的恒等关系，这些关系在解题过程中非常有用。
| 恒等式名称 | 公式 | 说明 |
| 倒数关系 | sinθ = 1/cscθ cosθ = 1/secθ tanθ = 1/cotθ | 各函数与其倒数的关系 |
| 商数关系 | tanθ = sinθ / cosθ cotθ = cosθ / sinθ | 正切与正弦、余弦的关系 |
| 平方关系 | sin²θ + cos²θ = 1 1 + tan²θ = sec²θ 1 + cot²θ = csc²θ | 基本的平方恒等式 |
| 互补角公式 | sin(90° - θ) = cosθ cos(90° - θ) = sinθ | 互余角之间的关系 |
| 周期性公式 | sin(θ + 360°) = sinθ cos(θ + 360°) = cosθ | 三角函数的周期性 |
三、和差角公式
用于计算两个角度之和或差的三角函数值。
| 公式名称 | 公式 | 说明 |
| 正弦和差公式 | sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB | 计算sin(A ± B) |
| 余弦和差公式 | cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB | 计算cos(A ± B) |
| 正切和差公式 | tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) | 计算tan(A ± B) |
四、倍角公式
用于计算一个角的两倍或三倍的三角函数值。
| 公式名称 | 公式 | 说明 |
| 正弦倍角公式 | sin2θ = 2sinθ cosθ | 2θ的正弦值 |
| 余弦倍角公式 | cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ | 2θ的余弦值 |
| 正切倍角公式 | tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ) | 2θ的正切值 |
五、半角公式
用于计算一个角的一半的三角函数值。
| 公式名称 | 公式 | 说明 |
| 正弦半角公式 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] | θ/2的正弦值 |
| 余弦半角公式 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] | θ/2的余弦值 |
| 正切半角公式 | tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] | θ/2的正切值 |
六、积化和差与和差化积公式（选学）
这些公式常用于简化复杂的三角表达式。
| 公式名称 | 公式 | 说明 |
| 积化和差公式 | sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)]/2 | 将乘积转化为和差 |
| cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)]/2 | ||
| sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)]/2 | ||
| 和差化积公式 | sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] | 将和差转化为乘积 |
| sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] | ||
| cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] | ||
| cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
通过以上内容，可以系统地掌握三角函数的基本公式及其应用方法。在实际问题中，合理运用这些公式能够大大简化计算过程，提高解题效率。
