【报童模型的推导过程】在运营管理与库存控制中，报童模型（Newsvendor Model）是一个经典的决策模型，用于解决在需求不确定的情况下，如何确定最优订购量的问题。该模型最初用于模拟报纸销售者在面对不确定需求时的决策行为，因此得名“报童模型”。
报童模型的核心目标是通过权衡过量库存的成本和缺货成本，找到一个最优的订购量，使得期望总成本最小。以下是该模型的基本推导过程。
一、模型假设
| 假设条件 | 内容说明 |
| 需求不确定性 | 需求是一个随机变量，服从某种概率分布（如正态分布、均匀分布等） |
| 单周期决策 | 模型适用于单次采购决策，商品无法保留到下一周期 |
| 成本结构明确 | 包括采购成本、销售价格、残值、缺货成本等 |
| 无再订购机会 | 在决策后无法再次订购 |
二、关键参数定义
| 参数 | 含义 |
| $ Q $ | 订购量 |
| $ D $ | 随机需求 |
| $ c $ | 单位采购成本 |
| $ p $ | 单位售价 |
| $ v $ | 单位残值（即未售出商品的回收价值） |
| $ b $ | 单位缺货成本（即每少卖一件带来的损失） |
三、成本函数推导
报童模型的目标是选择合适的订购量 $ Q $，使得期望总成本最小。总成本包括：
- 采购成本：$ cQ $
- 剩余成本：如果 $ D < Q $，则有 $ (Q - D)(c - v) $
- 缺货成本：如果 $ D > Q $，则有 $ (D - Q)b $
因此，总成本为：
$$
\text{Cost}(Q) = cQ + E[(Q - D)^+ (c - v) + (D - Q)^+ b
$$
其中，$ (x)^+ = \max(x, 0) $
四、期望成本函数
将上式拆解为期望形式：
$$
E[\text{Cost}(Q)] = cQ + (c - v)E[(Q - D)^+] + bE[(D - Q)^+
$$
为了最小化期望成本，我们需要对 $ Q $ 求导并令其等于零。
五、最优订购量推导
令 $ F(Q) $ 为需求的累积分布函数（CDF），即 $ F(Q) = P(D \leq Q) $，则：
- $ E[(Q - D)^+] = \int_{0}^{Q} (Q - d)f(d) \, dd = \int_{0}^{Q} (Q - d)f(d) \, dd $
- $ E[(D - Q)^+] = \int_{Q}^{\infty} (d - Q)f(d) \, dd $
经过数学推导，可以得到最优订购量满足以下条件：
$$
F(Q^) = \frac{p - c}{p - v}
$$
或者更常见的是写成：
$$
F(Q^) = \frac{p - c}{p - v + b}
$$
这个公式表明，最优订购量取决于需求的分布以及成本之间的相对关系。
六、结论
报童模型通过平衡采购成本、剩余成本和缺货成本，提供了一个在不确定性环境下进行决策的框架。其核心思想是根据市场需求的概率分布，计算出一个最优的订购量，以实现整体成本最小化。
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 明确模型假设和参数 |
| 2 | 定义成本结构 |
| 3 | 建立期望成本函数 |
| 4 | 推导最优订购量公式 |
| 5 | 根据需求分布计算具体值 |
总结：
报童模型是一种经典的库存管理工具，适用于短期、单周期的决策场景。通过合理设定成本参数并结合需求分布，可以有效指导企业在不确定环境下做出最优采购决策。
