【期望与方差公式】在概率论和统计学中，期望与方差是描述随机变量核心特征的两个重要指标。期望反映了随机变量的“平均值”或“中心位置”，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。以下是对常见随机变量的期望与方差公式的总结。
一、期望（Expected Value）
期望是随机变量在所有可能取值上的加权平均，权重为对应的概率。
| 随机变量类型 | 公式 | 说明 |
| 离散型随机变量 | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(x_i) $ | $ x_i $ 是第 $ i $ 个可能的取值，$ P(x_i) $ 是其对应的概率 |
| 连续型随机变量 | $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $ | $ f(x) $ 是概率密度函数 |
二、方差（Variance）
方差表示随机变量与其期望之间的差异程度，数值越大，说明数据越分散。
| 随机变量类型 | 公式 | 说明 |
| 离散型随机变量 | $ \text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 P(x_i) $ | 表示每个取值与期望的平方差的期望 |
| 连续型随机变量 | $ \text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) dx $ | 同理，基于概率密度函数计算 |
| 方差简化公式 | $ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $ | 更便于计算，尤其在已知期望和期望的平方时使用 |
三、常见分布的期望与方差
以下是一些常见概率分布的期望与方差公式：
| 分布名称 | 概率质量/密度函数 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 伯努利分布 | $ P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k},\ k=0,1 $ | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布（连续） | $ f(x) = \frac{1}{b-a},\ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x},\ x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
四、性质与应用
- 线性性质：对任意常数 $ a $ 和 $ b $，有 $ E(aX + b) = aE(X) + b $，$ \text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X) $
- 独立变量：若 $ X $ 和 $ Y $ 独立，则 $ E(XY) = E(X)E(Y) $，$ \text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) $
这些公式在统计分析、金融建模、机器学习等领域具有广泛应用，是理解随机现象的基础工具。
通过掌握这些基本概念和公式，可以更有效地进行数据分析与建模工作。
