首先，假设有一条平面上的光滑曲线C，其可以用参数方程表示为x=x(t), y=y(t)，其中t是参数，并且该曲线在区间[a, b]内连续可微。那么，这条曲线上的任意一小段都可以近似看作是一条直线段。根据两点间距离公式，这段小线段的长度可以表示为sqrt((dx)^2 + (dy)^2)。

接下来，我们将整个曲线分成无数个这样的小段，然后将所有这些小段的长度加起来，就得到了整条曲线的总长度。这就是积分思想的应用。因此，曲线C的弧长L可以表示为积分形式：

\[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2} dt \]

进一步地，利用链式法则，我们可以将上述积分表达式改写成更常见的形式：

\[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx \]

这就是平面直角坐标系下曲线弧长的计算公式。它描述了如何通过微分的方法来求解曲线的长度问题。

需要注意的是，这里的推导过程基于曲线的连续性和可微性条件。对于某些特殊类型的曲线或者更高维度的空间曲线，可能需要采用不同的方法来进行处理。此外，在实际应用中，有时还需要考虑曲线的方向以及是否闭合等因素对结果的影响。

总之，通过对微积分基本原理的理解与运用，我们能够建立起这样一个简洁而强大的工具——即用于衡量曲线长度的弧长公式。这不仅帮助我们在理论上解决了这个问题，也为解决实际工程和技术领域中的相关问题提供了强有力的理论支持。