【导数为arctanx的原函数】在微积分中，求一个函数的原函数，即求其不定积分。当我们知道一个函数的导数是 arctanx 时，我们需要找到一个函数 F(x)，使得 F’(x) = arctanx。这个过程也称为反向求导。

为了更清晰地展示这一过程，以下是对“导数为 arctanx 的原函数”的总结与分析：

一、基本概念

- 原函数：若 F’(x) = f(x)，则称 F(x) 是 f(x) 的一个原函数。

- 不定积分：∫f(x) dx = F(x) + C，其中 C 是积分常数。

本题要求的是：

$$

\int \arctan x \, dx

$$

二、求解方法

使用分部积分法（Integration by Parts）：

设：

- u = arctanx ⇒ du = $\frac{1}{1 + x^2} dx$

- dv = dx ⇒ v = x

根据分部积分公式：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

代入得：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

接下来计算第二个积分：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

令 t = 1 + x² ⇒ dt = 2x dx ⇒ x dx = $\frac{1}{2} dt$

所以：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \lnt + C = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

最终结果为：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

三、总结表格

四、结论

通过分部积分法，我们得出：

导数为 arctanx 的原函数是

$$

x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

该函数满足 F’(x) = arctanx，因此是正确的原函数。

如需进一步探讨其他函数的原函数或应用实例，可继续提问。