【哪个函数的导数是arctanx】在微积分的学习中，我们常常需要解决“已知一个函数的导数，求原函数”的问题。今天我们要探讨的是：哪个函数的导数是 arctanx？这个问题看似简单，但背后涉及的知识点不少，包括积分、反三角函数以及分部积分法等。

一、基本思路

我们知道，若函数 $ f(x) $ 的导数为 $ \arctan x $，则 $ f(x) $ 是 $ \arctan x $ 的一个原函数。换句话说，我们需要求：

$$

f(x) = \int \arctan x \, dx

$$

这个积分可以通过分部积分法来完成。

二、分部积分法求解

设：

- $ u = \arctan x $，则 $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $

- $ dv = dx $，则 $ v = x $

根据分部积分公式：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

代入得：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

接下来计算第二项积分：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

令 $ t = 1 + x^2 $，则 $ dt = 2x dx $，即 $ x dx = \frac{dt}{2} $，因此：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \ln t + C = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

所以，

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

三、总结

通过上述推导，我们可以得出结论：函数 $ x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) $ 的导数是 $ \arctan x $。

以下是关键信息的总结表格：

四、拓展思考

虽然我们找到了一个具体的原函数，但要注意的是，所有满足导数为 $ \arctan x $ 的函数都可以表示为该函数加上一个常数，即：

$$

f(x) = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

这体现了不定积分的特性——原函数不唯一，但相差一个常数。

五、结语

通过本篇文章，我们不仅解答了“哪个函数的导数是 arctanx”这一问题，还学习了如何利用分部积分法进行复杂函数的积分运算。理解这些方法有助于我们在今后的学习中更灵活地处理各种类型的积分问题。