【复数的运算公式】在数学中，复数是实数与虚数的结合体，广泛应用于物理、工程和信号处理等领域。复数的基本形式为 $ a + bi $，其中 $ a $ 为实部，$ b $ 为虚部，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。本文将总结复数的常见运算公式，并以表格形式清晰展示。

复数的基本运算

1. 复数的加法

若 $ z_1 = a + bi $，$ z_2 = c + di $，则

$$

z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i

$$

2. 复数的减法

$$

z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i

$$

3. 复数的乘法

$$

z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i

$$

4. 复数的除法

$$

\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}

$$

5. 共轭复数

若 $ z = a + bi $，则其共轭复数为 $ \overline{z} = a - bi $

6. 模长（绝对值）

$$

z = \sqrt{a^2 + b^2}

$$

7. 极坐标表示

复数也可用极坐标形式表示：

$$

z = r(\cos\theta + i\sin\theta)

$$

其中 $ r = z $，$ \theta $ 为幅角。

8. 欧拉公式

$$

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

$$

9. 复数的幂运算

若 $ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $，则

$$

z^n = r^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))

$$

10. 复数的开方

若 $ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $，则

$$

\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \right)

$$

其中 $ k = 0, 1, ..., n-1 $

复数运算公式汇总表

通过上述公式，可以系统地进行复数的运算与分析，适用于多种数学及工程问题的求解。掌握这些基本公式有助于提升对复数的理解和应用能力。