在概率论与数理统计中，泊松分布是一种重要的离散型概率分布。它通常用于描述单位时间内随机事件发生的次数，例如某电话交换机在一分钟内接到的呼叫次数，或者某一地区一天内发生交通事故的次数等。

泊松分布的概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）可以表示为：

\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]

其中：

- \( X \) 是随机变量，代表事件发生的次数；

- \( k \) 是非负整数，表示事件发生的具体次数；

- \( \lambda \) 是事件的平均发生率；

- \( e \) 是自然对数的底，约等于 2.71828。

这个公式的推导基于假设条件：事件的发生是独立且均匀分布的，并且在极小的时间间隔内事件最多只会发生一次。

泊松分布的一个重要特性是其均值和方差相等，都等于参数 \( \lambda \)。这意味着如果已知某事件平均每小时发生5次，则该事件每小时实际发生的次数的标准差也为 \( \sqrt{5} \)。

此外，在实际应用中，当二项分布中的试验次数 \( n \) 趋向于无穷大而成功概率 \( p \) 趋向于零时，只要 \( np = \lambda \) 保持不变，那么二项分布就可以近似为泊松分布。这种近似方法简化了许多复杂问题的计算过程。

泊松分布广泛应用于质量管理、生物学、医学研究等领域。例如，在工业生产过程中，它可以用来预测缺陷产品的数量；在医疗领域，可用于估计某种疾病在一个特定区域内的发病率。

总之，泊松分布以其简洁优雅的形式和强大的适用性成为统计学中不可或缺的一部分。理解和掌握这一分布有助于我们更好地分析和解决现实世界中的各种不确定性问题。