在数学中，一元二次方程是形如 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的代数方程，其中 \( a \neq 0 \)。这类方程广泛应用于物理、工程和经济学等领域。为了更好地理解和解决这类方程，我们需要掌握其求根公式及其详细的推导过程。
首先，我们从一般形式的二次方程开始：
\[
ax^2 + bx + c = 0
\]
其中，\( a, b, c \) 是已知常数，且 \( a \neq 0 \)。我们的目标是找到该方程的两个解（即 \( x \) 值）。
第一步：标准化方程
为了简化推导过程，我们将方程两边同时除以 \( a \)，得到：
\[
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0
\]
令 \( p = \frac{b}{a} \) 和 \( q = \frac{c}{a} \)，则方程变为：
\[
x^2 + px + q = 0
\]
第二步：配方法
接下来，我们使用配方法来解这个方程。将 \( x^2 + px \) 部分写成平方的形式。首先，添加并减去 \( \left(\frac{p}{2}\right)^2 \)：
\[
x^2 + px + \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q = 0
\]
这样可以将前两项写成一个完全平方：
\[
\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q = 0
\]
整理后得到：
\[
\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q
\]
第三步：开平方
为了求解 \( x \)，我们对方程两边开平方：
\[
x + \frac{p}{2} = \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}
\]
移项得到：
\[
x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}
\]
第四步：代入原系数
现在，我们将 \( p = \frac{b}{a} \) 和 \( q = \frac{c}{a} \) 代入上述公式：
\[
x = -\frac{\frac{b}{a}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\frac{b}{a}}{2}\right)^2 - \frac{c}{a}}
\]
化简后得到：
\[
x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}}
\]
进一步化简分母：
\[
x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}
\]
最终结果为：
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
总结
通过上述步骤，我们得到了一元二次方程的求根公式：
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
该公式适用于所有形如 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的二次方程，其中 \( a \neq 0 \)。公式的推导过程展示了数学中的逻辑性和严谨性，同时也为解决实际问题提供了强有力的工具。
通过这一推导过程，我们可以更加深刻地理解二次方程的本质，并灵活运用其求根公式解决各种实际问题。
