在概率论与统计学中，均匀分布是一种非常基础且重要的连续概率分布。它描述了一种随机变量在某个区间内取值的概率是相等的情况。均匀分布广泛应用于模拟、实验设计以及各种随机过程建模中。

假设随机变量X服从[a, b]区间的均匀分布，记作X ~ U(a, b)，其概率密度函数（PDF）定义如下：

\[ f(x) =

\begin{cases}

\frac{1}{b-a}, & \text{当 } a \leq x \leq b \\

0, & \text{其他情况}

\end{cases} \]

从上述定义可以看出，均匀分布的PDF在整个定义区间[a, b]上是一个常数，即 \(\frac{1}{b-a}\)，这表明在这个区间内任何一点出现的概率都是相同的。而在区间外，PDF值为零，表示这些点不可能发生。

均匀分布的一个重要特性是它的累积分布函数（CDF），它是PDF的积分结果。对于[a, b]上的均匀分布，CDF可以表示为：

\[ F(x) =

\begin{cases}

0, & \text{当 } x < a \\

\frac{x-a}{b-a}, & \text{当 } a \leq x \leq b \\

1, & \text{当 } x > b

\end{cases} \]

利用CDF，我们可以方便地计算出随机变量落在某一特定子区间内的概率。例如，随机变量X落在[c, d]（其中a ≤ c < d ≤ b）的概率可以通过以下公式得到：

\[ P(c \leq X \leq d) = F(d) - F(c) = \frac{d-c}{b-a} \]

此外，均匀分布还具有无记忆性，这意味着无论过去的状态如何，未来事件发生的概率不受影响。这一特性使得均匀分布在许多实际问题中有广泛的应用。

总之，均匀分布作为一种简单而有效的概率模型，在理论研究和实际应用中都占有重要地位。理解和掌握均匀分布的性质及其相关计算方法，对于深入学习更复杂的概率分布和统计推断具有重要意义。