【几何平均数的计算公式】在统计学中，几何平均数是一种用于衡量一组数值平均水平的指标，尤其适用于数据呈指数增长或变化幅度较大的情况。与算术平均数不同，几何平均数更适用于计算增长率、投资回报率等涉及复利效应的问题。
一、几何平均数的定义
几何平均数（Geometric Mean）是指将一组正数相乘后，再开n次方（n为数据个数）所得的结果。它能够更好地反映数据之间的比例关系，尤其是在处理百分比变化或增长率时更为准确。
二、几何平均数的计算公式
设有一组正数 $ x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n $，则其几何平均数 $ G $ 的计算公式为：
$$
G = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times x_3 \times \cdots \times x_n}
$$
或者用对数形式表示为：
$$
\log(G) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \log(x_i)
$$
然后取反对数得到 $ G $。
三、几何平均数的特点
| 特点 | 说明 |
| 只能用于正数 | 几何平均数不适用于零或负数 |
| 受极端值影响较小 | 相比于算术平均数，几何平均数对极端大值的敏感度较低 |
| 适用于比率或增长率 | 如年化收益率、人口增长率等 |
| 不能直接比较不同单位的数据 | 需要统一单位后才能进行比较 |
四、几何平均数的应用场景
| 应用场景 | 说明 |
| 投资回报率 | 计算多期投资的平均回报率 |
| 经济增长率 | 衡量经济增长的稳定性和趋势 |
| 生物学研究 | 分析细胞分裂、种群增长等 |
| 数据标准化 | 在多变量分析中用于平衡不同量纲的数据 |
五、几何平均数与算术平均数的比较
| 指标 | 几何平均数 | 算术平均数 |
| 公式 | $ \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} $ | $ \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} $ |
| 适用性 | 比率、增长率 | 一般数据集 |
| 敏感度 | 对极端值较不敏感 | 对极端值较敏感 |
| 结果大小 | 通常小于或等于算术平均数 | 通常大于或等于几何平均数 |
六、示例计算
假设某公司连续三年的年化收益率分别为：5%、10%、15%，求其平均收益率。
将百分比转换为小数：0.05、0.10、0.15
计算几何平均数：
$$
G = \sqrt[3]{0.05 \times 0.10 \times 0.15} = \sqrt[3]{0.00075} \approx 0.091 \text{ 或 } 9.1\%
$$
而算术平均数为：
$$
\frac{0.05 + 0.10 + 0.15}{3} = 0.10 \text{ 或 } 10\%
$$
由此可见，几何平均数更能反映实际的平均增长效果。
通过以上内容可以看出，几何平均数是统计分析中一个非常实用且重要的工具，尤其在涉及复合增长和比例变化的情况下具有独特优势。正确理解并应用几何平均数，有助于更准确地分析数据背后的规律。
