【三角函数的值域】在三角函数的学习中，了解各个三角函数的值域是非常重要的。值域指的是函数在定义域内所有可能取到的函数值的集合。不同的三角函数具有不同的值域，掌握这些值域有助于我们在解题时更准确地判断结果范围。
以下是对常见三角函数的值域进行总结，并以表格形式呈现：
一、基本三角函数的值域
| 函数名称 | 表达式 | 定义域 | 值域 |
| 正弦函数 | $ y = \sin x $ | $ (-\infty, +\infty) $ | $ [-1, 1] $ |
| 余弦函数 | $ y = \cos x $ | $ (-\infty, +\infty) $ | $ [-1, 1] $ |
| 正切函数 | $ y = \tan x $ | $ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $（$k$ 为整数） | $ (-\infty, +\infty) $ |
| 余切函数 | $ y = \cot x $ | $ x \neq k\pi $（$k$ 为整数） | $ (-\infty, +\infty) $ |
二、常见变形与复合函数的值域
对于一些常见的三角函数变形或组合函数，其值域可能会发生变化，具体如下：
| 函数表达式 | 值域 | ||||
| $ y = A\sin x + B $ | $ [B - | A | , B + | A | ] $ |
| $ y = A\cos x + B $ | $ [B - | A | , B + | A | ] $ |
| $ y = \sin^2 x $ | $ [0, 1] $ | ||||
| $ y = \cos^2 x $ | $ [0, 1] $ | ||||
| $ y = \tan x + \cot x $ | $ (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) $ | ||||
| $ y = \sin x + \cos x $ | $ [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] $ |
三、注意事项
1. 正弦和余弦函数：它们的值域始终是有限的，最大值为1，最小值为-1，适用于所有实数输入。
2. 正切和余切函数：它们的值域是全体实数，但存在定义域的限制，不能在某些点上取值。
3. 复合函数：如含有系数或平方项的函数，需要根据函数结构进行分析，确定最大值和最小值。
通过掌握这些基本三角函数及其变形的值域，可以更有效地解决与三角函数相关的数学问题，尤其是在求最值、判断函数性质等方面具有重要意义。
