【怎么求微分】微分是数学中非常重要的一个概念，尤其在高等数学、物理和工程等领域有着广泛的应用。微分可以帮助我们研究函数的变化率，理解曲线的斜率，以及解决很多实际问题。本文将简要总结如何求微分，并通过表格形式展示常见函数的微分方法。
一、微分的基本概念
微分（Derivative）是函数在某一点处的瞬时变化率，也称为导数。如果函数 $ y = f(x) $ 在某点 $ x $ 处可导，则其导数记为：
$$
f'(x) \quad \text{或} \quad \frac{dy}{dx}
$$
微分的几何意义是函数图像在该点的切线斜率。
二、求微分的方法总结
以下是几种常见的求微分方法及其应用说明：
| 微分方法 | 适用对象 | 公式示例 | 说明 |
| 基本导数公式 | 常见初等函数 | $ \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} $ | 幂函数的导数 |
| 链式法则 | 复合函数 | $ \frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 用于多层嵌套函数 |
| 乘积法则 | 两个函数相乘 | $ \frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'v + uv' $ | 适用于乘积形式 |
| 商法则 | 两个函数相除 | $ \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ | 适用于分数形式 |
| 隐函数求导 | 隐函数关系 | $ \frac{dy}{dx} = -\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y} $ | 用于无法显式表示的函数 |
| 对数求导法 | 指数函数或复杂乘积 | $ \ln y = \ln f(x) \Rightarrow \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[\ln f(x)] $ | 简化复杂函数的求导过程 |
三、实例解析
例1： 求函数 $ y = x^3 $ 的导数
解：根据幂函数导数公式，
$$
\frac{dy}{dx} = 3x^2
$$
例2： 求函数 $ y = \sin(2x) $ 的导数
解：使用链式法则，
$$
\frac{dy}{dx} = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)
$$
例3： 求函数 $ y = \frac{x^2 + 1}{x - 1} $ 的导数
解：使用商法则，
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)}{(x - 1)^2}
$$
四、总结
求微分的核心在于掌握基本导数公式和各种求导法则。不同的函数形式需要采用相应的求导策略，如复合函数用链式法则，乘积用乘积法则，商用商法则等。熟练掌握这些方法，能够帮助我们更高效地解决实际问题。
附注： 实际应用中，微分常与积分结合使用，形成微积分体系，是分析函数行为的重要工具。
