【虚数i的运算公式】在数学中，虚数单位 $ i $ 是一个非常重要的概念，它定义为 $ i = \sqrt{-1} $。尽管在实数范围内无法找到这样的数，但通过引入 $ i $，我们能够扩展数系到复数域，并解决许多在实数范围内无解的问题。本文将总结与虚数 $ i $ 相关的基本运算公式，并以表格形式进行归纳。

一、基本定义

- $ i^2 = -1 $

- $ i^3 = i^2 \cdot i = -i $

- $ i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1 $

- $ i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i $

可以看出，$ i $ 的幂次具有周期性，每四次循环一次。

二、常见运算公式总结

三、其他相关运算规则

1. 加法与减法

若 $ a, b, c, d $ 为实数，则：

$$

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

$$

$$

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

$$

2. 乘法

$$

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i

$$

3. 共轭复数

复数 $ z = a + bi $ 的共轭为 $ \overline{z} = a - bi $。

4. 模长

$$

z = \sqrt{a^2 + b^2}

$$

5. 极坐标表示

复数也可以表示为 $ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $，其中 $ r = z $，$ \theta $ 为幅角。

四、小结

虚数 $ i $ 的运算虽然看似简单，但在复数理论中具有深远的意义。掌握其基本运算规则和周期性规律，有助于更深入地理解复数的应用，如在电路分析、信号处理、量子力学等领域的广泛应用。

通过上述表格和总结，可以快速回顾和应用虚数 $ i $ 的各种运算公式。