【微分函数公式】在数学中，微分是研究函数变化率的重要工具，广泛应用于物理、工程、经济等领域。掌握常见的微分函数公式对于理解和解决实际问题具有重要意义。以下是对常见微分函数公式的总结，便于快速查阅和应用。
一、基本微分公式
| 函数形式 | 导数（微分） |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、三角函数的导数
| 函数形式 | 导数（微分） |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
三、反三角函数的导数
| 函数形式 | 导数（微分） | ||
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ f(x) = \text{arccot } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ f(x) = \text{arcsec } x $ | $ f'(x) = \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
| $ f(x) = \text{arccsc } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
四、复合函数的导数（链式法则）
若 $ y = f(g(x)) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
五、乘积与商的导数
- 乘积法则：若 $ y = u(x)v(x) $，则
$$
y' = u'v + uv'
$$
- 商法则：若 $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $，则
$$
y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$
六、高阶导数
高阶导数是指对原函数连续求导多次的结果，例如：
- 一阶导数：$ f'(x) $
- 二阶导数：$ f''(x) $
- 三阶导数：$ f'''(x) $
总结
微分函数公式是微积分学习的基础内容，掌握这些公式有助于更深入地理解函数的变化趋势，并在实际问题中进行建模与分析。通过表格的形式整理常见微分公式，可以提高学习效率并减少计算错误。建议结合练习题巩固记忆，提升应用能力。
