【分布函数怎么求】在概率论与数理统计中，分布函数是一个非常重要的概念，用于描述随机变量的取值概率分布情况。无论是离散型随机变量还是连续型随机变量，都可以通过分布函数来刻画其概率特性。本文将总结“分布函数怎么求”的方法，并以表格形式进行归纳。
一、什么是分布函数？
分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）通常记作 $ F(x) $，定义为：
$$
F(x) = P(X \leq x)
$$
即：对于任意实数 $ x $，分布函数表示随机变量 $ X $ 小于等于 $ x $ 的概率。
二、如何求分布函数？
根据随机变量的类型不同，求分布函数的方法也有所不同。下面分别介绍离散型和连续型随机变量的分布函数求法。
1. 离散型随机变量的分布函数
对于离散型随机变量 $ X $，其可能取值为 $ x_1, x_2, ..., x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, ..., p_n $，则分布函数 $ F(x) $ 可以表示为：
$$
F(x) = \sum_{x_i \leq x} p_i
$$
即：将所有小于等于 $ x $ 的点的概率相加。
2. 连续型随机变量的分布函数
对于连续型随机变量 $ X $，其概率密度函数为 $ f(x) $，则分布函数 $ F(x) $ 是概率密度函数的积分：
$$
F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt
$$
即：从负无穷到 $ x $ 的积分结果就是该点的分布函数值。
三、总结对比表
| 类型 | 分布函数定义 | 计算方式 | 示例说明 |
| 离散型 | $ F(x) = P(X \leq x) $ | 累加小于等于 $ x $ 的概率 | 若 $ X $ 取 0,1,2，概率为 0.2, 0.5, 0.3，则 $ F(1) = 0.2 + 0.5 = 0.7 $ |
| 连续型 | $ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt $ | 对概率密度函数积分 | 若 $ f(x) = 2x $ 在 [0,1] 区间内，则 $ F(0.5) = \int_0^{0.5} 2t dt = 0.25 $ |
四、注意事项
- 分布函数是单调不减的函数。
- 当 $ x \to -\infty $ 时，$ F(x) \to 0 $；当 $ x \to +\infty $ 时，$ F(x) \to 1 $。
- 对于连续型变量，分布函数是连续的；对于离散型变量，分布函数是阶梯函数。
五、实际应用举例
假设有一个随机变量 $ X $，服从伯努利分布，即 $ X = 1 $ 的概率为 0.6，$ X = 0 $ 的概率为 0.4。
那么它的分布函数为：
- $ F(x) = 0 $，当 $ x < 0 $
- $ F(x) = 0.4 $，当 $ 0 \leq x < 1 $
- $ F(x) = 1 $，当 $ x \geq 1 $
六、结语
掌握分布函数的求法是学习概率统计的基础。无论面对哪种类型的随机变量，只要理解了分布函数的定义和计算方式，就能更好地分析随机现象的概率特性。希望本文对您有所帮助。
