【向量叉乘的公式】向量叉乘是向量运算中的一种重要形式，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。它用于计算两个向量之间的垂直向量，并且其模长与两个向量所形成的平行四边形面积有关。本文将总结向量叉乘的基本公式及其相关性质，并通过表格形式清晰展示。
一、向量叉乘的基本定义
设空间中有两个向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，它们的叉乘（也称向量积）记作 $\vec{a} \times \vec{b}$，结果是一个向量，方向垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所在的平面，其方向由右手定则决定。
二、向量叉乘的公式
向量叉乘的计算公式如下：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
也可以写成分量形式：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
$$
三、向量叉乘的性质总结
| 属性 | 描述 | ||||||
| 结果向量 | 是一个向量，方向垂直于原两向量所在的平面 | ||||||
| 模长 | $ | \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta$，其中 $\theta$ 是两向量夹角 | |
| 方向 | 由右手定则确定：拇指指向 $\vec{a}$，食指指向 $\vec{b}$，中指方向为叉乘结果方向 | ||||||
| 交换律 | 不满足交换律，$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ | ||||||
| 分配律 | 满足分配律，$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ | ||||||
| 线性性 | 对标量 $k$，有 $k(\vec{a} \times \vec{b}) = (k\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k\vec{b})$ |
四、应用场景
- 物理：如力矩、角动量等；
- 计算机图形学：用于计算法线向量、光照方向等；
- 工程力学：分析结构受力情况；
- 三维几何：求解平面方程、点到平面距离等。
五、示例计算
已知 $\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (4, 5, 6)$，计算 $\vec{a} \times \vec{b}$：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
(2 \cdot 6 - 3 \cdot 5, 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6, 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4) = (12 - 15, 12 - 6, 5 - 8) = (-3, 6, -3)
$$
六、总结
向量叉乘是一种重要的向量运算方式，能够帮助我们快速得到两个向量的垂直向量，并且具有明确的数学表达式和物理意义。掌握其公式和性质，有助于在多个学科领域中进行更高效的计算和分析。
如需进一步了解向量点乘或其他向量运算，请继续关注后续内容。
