题目：
设函数 \( f(x) \) 是定义在实数集 \( \mathbb{R} \) 上的奇函数，并且满足对于任意的 \( x \in \mathbb{R} \)，都有 \( f(x) + f(x+4) = 0 \)。求解函数 \( f(x) \) 的具体形式。
分析与解答：
首先，根据题目条件，函数 \( f(x) \) 是奇函数，这意味着它满足以下性质：
\[
f(-x) = -f(x), \quad \forall x \in \mathbb{R}.
\]
其次，题目还给出了一个重要的等式：
\[
f(x) + f(x+4) = 0.
\]
这表明函数 \( f(x) \) 在间隔为 4 的点上具有某种对称性或周期性。
第一步：推导递推关系
从方程 \( f(x) + f(x+4) = 0 \)，可以得到：
\[
f(x+4) = -f(x).
\]
进一步，将 \( x \) 替换为 \( x+4 \)，可得：
\[
f(x+8) = -f(x+4) = f(x).
\]
因此，函数 \( f(x) \) 具有周期性，其周期为 8，即：
\[
f(x+8) = f(x).
\]
第二步：结合奇函数性质
由于 \( f(x) \) 是奇函数，结合周期性，我们可以进一步探讨其具体形式。假设 \( f(x) \) 在某区间内的值已知，则可以通过奇函数的性质和周期性扩展到整个实数域。
例如，若 \( f(0) = 0 \)（这是奇函数的自然条件），则可以逐步推导其他值。利用 \( f(x+4) = -f(x) \)，可以写出：
\[
f(4) = -f(0) = 0,
\]
\[
f(8) = f(0) = 0,
\]
以此类推。
第三步：构造具体形式
为了满足上述性质，常见的函数形式可能是正弦函数或其变形。考虑函数：
\[
f(x) = A \sin\left(\frac{\pi}{4} x\right),
\]
其中 \( A \) 是常数。验证该函数是否满足题目条件：
1. 奇函数性质：\( \sin(-x) = -\sin(x) \)，显然成立。
2. 周期性：\( \sin(x) \) 的周期为 \( 2\pi \)，而 \( \frac{\pi}{4} x \) 的周期为 8，也成立。
3. 满足递推关系：\( f(x+4) = A \sin\left(\frac{\pi}{4}(x+4)\right) = A \sin\left(\frac{\pi}{4} x + \pi\right) = -A \sin\left(\frac{\pi}{4} x\right) = -f(x) \)，成立。
因此，函数 \( f(x) = A \sin\left(\frac{\pi}{4} x\right) \) 是一个满足所有条件的解。
结论：
函数 \( f(x) \) 的具体形式为：
\[
f(x) = A \sin\left(\frac{\pi}{4} x\right),
\]
其中 \( A \) 为任意实数。
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