【隐函数求导公式】在微积分中，隐函数求导是解决无法显式表示为 $ y = f(x) $ 的函数时常用的方法。当一个方程中的变量 $ x $ 和 $ y $ 以隐含的方式联系在一起时，我们不能直接将 $ y $ 表示为 $ x $ 的显函数，此时就需要使用隐函数求导法。
隐函数求导的核心思想是：对等式两边同时关于 $ x $ 求导，利用链式法则处理含有 $ y $ 的项，并最终解出 $ \frac{dy}{dx} $。
一、基本概念
| 术语 | 定义 |
| 显函数 | 可以表示为 $ y = f(x) $ 的形式 |
| 隐函数 | 由方程 $ F(x, y) = 0 $ 表示的函数，其中 $ y $ 不可直接解出 |
| 隐函数求导 | 对隐函数进行求导的过程，通常涉及链式法则和隐式求导法 |
二、隐函数求导步骤
1. 对等式两边关于 $ x $ 求导
注意：$ y $ 是关于 $ x $ 的函数，因此对 $ y $ 求导时需乘以 $ \frac{dy}{dx} $。
2. 整理含有 $ \frac{dy}{dx} $ 的项
将所有含有 $ \frac{dy}{dx} $ 的项移到等式一边，其余项移到另一边。
3. 解出 $ \frac{dy}{dx} $
通过代数运算，将 $ \frac{dy}{dx} $ 单独表示出来。
三、常见隐函数求导公式总结
| 方程形式 | 隐函数表达 | 求导结果（$ \frac{dy}{dx} $） |
| $ x^2 + y^2 = r^2 $ | 圆方程 | $ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} $ |
| $ xy = c $ | 双曲线 | $ \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} $ |
| $ x^3 + y^3 = 3xy $ | 三叶草曲线 | $ \frac{dy}{dx} = \frac{y - x^2}{y^2 - x} $ |
| $ e^{xy} = x + y $ | 指数隐函数 | $ \frac{dy}{dx} = \frac{1 - ye^{xy}}{xe^{xy} - 1} $ |
| $ \sin(xy) = x $ | 三角隐函数 | $ \frac{dy}{dx} = \frac{1 - y\cos(xy)}{x\cos(xy)} $ |
四、注意事项
- 在求导过程中，必须始终将 $ y $ 视为 $ x $ 的函数。
- 若需要求高阶导数（如 $ \frac{d^2y}{dx^2} $），则需对已得的 $ \frac{dy}{dx} $ 再次求导。
- 避免在中间步骤中错误地忽略 $ \frac{dy}{dx} $ 的乘积项。
五、应用实例
例题：设 $ x^2 + y^2 = 25 $，求 $ \frac{dy}{dx} $。
解法：
1. 两边对 $ x $ 求导：
$$
2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0
$$
2. 移项并整理：
$$
2y \cdot \frac{dy}{dx} = -2x
$$
3. 解出 $ \frac{dy}{dx} $：
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}
$$
通过掌握隐函数求导的基本方法与公式，可以更高效地处理复杂的函数关系，尤其在物理、工程和经济学等领域具有广泛的应用价值。
