【数学期望公式】在概率论与统计学中，数学期望是一个非常重要的概念，它用于描述随机变量在大量重复试验中所表现出的平均值。数学期望不仅在理论研究中具有重要意义，在实际应用中也广泛用于金融、工程、数据分析等领域。
数学期望的计算方式根据随机变量的类型（离散型或连续型）有所不同，下面将对常见的数学期望公式进行总结，并以表格形式展示。
一、数学期望的基本概念
数学期望（Expected Value），通常用符号 $ E(X) $ 表示，是随机变量 $ X $ 在所有可能取值上按其概率加权后的平均值。换句话说，它是对随机事件长期结果的一种预测。
二、数学期望的计算公式
1. 离散型随机变量的数学期望
对于一个离散型随机变量 $ X $，其可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ P(x_1), P(x_2), \dots, P(x_n) $，则数学期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)
$$
2. 连续型随机变量的数学期望
对于一个连续型随机变量 $ X $，其概率密度函数为 $ f(x) $，则数学期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
三、常见分布的数学期望公式
| 分布名称 | 概率质量函数 / 密度函数 | 数学期望 $ E(X) $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 $ U(a, b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $, $ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ |
| 指数分布 $ Exp(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $, $ x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ |
四、数学期望的性质
1. 线性性：对于任意常数 $ a $ 和 $ b $，有
$$
E(aX + b) = aE(X) + b
$$
2. 期望的和：若 $ X $ 和 $ Y $ 是两个随机变量，则
$$
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
$$
3. 独立变量的乘积：若 $ X $ 和 $ Y $ 相互独立，则
$$
E(XY) = E(X) \cdot E(Y)
$$
五、总结
数学期望是概率论中的核心概念之一，用于衡量随机变量的“中心位置”。无论是离散型还是连续型随机变量，都可以通过相应的公式计算其数学期望。掌握不同分布的数学期望公式，有助于我们在实际问题中进行合理的预测与分析。
通过理解并应用这些公式，我们可以更好地把握数据背后的规律，为决策提供科学依据。
