【分部积分法顺序口诀】在微积分的学习中，分部积分法是一个非常重要的工具，尤其在处理一些复杂函数的积分时，常常需要用到它。然而，对于初学者来说，如何选择合适的“u”和“dv”是学习过程中的一大难点。为了帮助大家更好地掌握这一方法，这里整理了一个便于记忆的“分部积分法顺序口诀”，并结合实际例子进行说明。
一、分部积分法的基本公式
分部积分法的公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
其中，“u”通常是从被积函数中选取的一个容易求导的函数，而“dv”则是剩下的部分，且需要能够方便地积分。
二、分部积分法顺序口诀
为了帮助记忆和应用，可以使用以下口诀来辅助判断“u”的选择顺序：
> “对反幂三指”（对数、反三角、幂函数、三角函数、指数函数）
这个口诀的意思是，在选择“u”时，优先考虑的顺序为：
1. 对数函数（如 $\ln x$）
2. 反三角函数（如 $\arcsin x$、$\arctan x$）
3. 幂函数（如 $x^n$）
4. 三角函数（如 $\sin x$、$\cos x$）
5. 指数函数（如 $e^x$）
这个顺序可以帮助我们在面对多个可选函数时，快速决定哪一部分作为“u”。
三、典型例题与解析
| 题目 | 选择u的依据 | 计算过程 | 结果 |
| $\int x \ln x \, dx$ | “对”在前，先选 $\ln x$ 为 u | $u = \ln x$, $dv = x dx$ $du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ $\int x \ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$ | $\frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$ |
| $\int x e^x dx$ | “指”在后，选 $x$ 为 u | $u = x$, $dv = e^x dx$ $du = dx$, $v = e^x$ $\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$ | $x e^x - e^x + C$ |
| $\int \arctan x \, dx$ | “反”在前，选 $\arctan x$ 为 u | $u = \arctan x$, $dv = dx$ $du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = x$ $\int \arctan x dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$ | $x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$ |
四、总结
分部积分法虽然看似复杂，但只要掌握了“对反幂三指”的选择顺序口诀，就能在实际应用中更加得心应手。通过合理选择“u”和“dv”，可以大大简化积分过程，并避免不必要的计算错误。
建议在练习中多尝试不同类型的题目，逐步培养对“u”和“dv”选择的直觉，从而提高解题效率和准确性。
