【复合函数求导】在微积分中，复合函数的求导是求导法则中的重要内容之一。复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，其求导需要使用“链式法则”（Chain Rule）。掌握复合函数的求导方法，有助于解决实际问题中的复杂函数分析。
一、复合函数的基本概念
复合函数是指一个函数作为另一个函数的输入。例如，若 $ f(x) = \sin(x) $，$ g(x) = x^2 $，则它们的复合函数可以表示为：
- $ f(g(x)) = \sin(x^2) $
- $ g(f(x)) = (\sin x)^2 $
复合函数的形式通常写作 $ h(x) = f(g(x)) $ 或 $ h(x) = g(f(x)) $。
二、复合函数的求导方法
复合函数的求导主要依赖于链式法则，即：
$$
\frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
也就是说，先对最外层函数求导，再乘以内层函数的导数。
三、常见复合函数求导示例
| 复合函数 | 导数 | 求导步骤 |
| $ y = \sin(3x) $ | $ y' = 3\cos(3x) $ | 先对 $ \sin(u) $ 求导得 $ \cos(u) $，再乘以 $ u' = 3 $ |
| $ y = e^{x^2} $ | $ y' = 2x e^{x^2} $ | 对 $ e^u $ 求导得 $ e^u $，再乘以 $ u' = 2x $ |
| $ y = \ln(\sqrt{x}) $ | $ y' = \frac{1}{2x} $ | 先化简为 $ \ln(x^{1/2}) = \frac{1}{2}\ln x $，导数为 $ \frac{1}{2x} $ |
| $ y = (2x + 1)^5 $ | $ y' = 5(2x + 1)^4 \cdot 2 = 10(2x + 1)^4 $ | 对 $ u^5 $ 求导得 $ 5u^4 $，再乘以 $ u' = 2 $ |
| $ y = \tan(e^x) $ | $ y' = e^x \sec^2(e^x) $ | 对 $ \tan(u) $ 求导得 $ \sec^2(u) $，再乘以 $ u' = e^x $ |
四、注意事项
1. 分清内外函数：在应用链式法则时，首先要明确哪一个是外层函数，哪一个是内层函数。
2. 逐层求导：如果复合函数有多个层次（如 $ f(g(h(x))) $），则需从外到内依次求导。
3. 注意符号和常数：在计算过程中，保持对常数和符号的准确处理。
五、总结
复合函数的求导是微积分中的基础技能，熟练掌握链式法则能够帮助我们快速求解复杂的函数导数。通过不断练习不同类型的复合函数，可以提高对导数规则的理解和应用能力。理解并掌握这一方法，不仅有助于数学学习，也为物理、工程等领域的实际问题提供有力的工具。
