【向量相乘公式】在数学和物理中，向量是一种非常重要的工具，广泛应用于力学、工程、计算机图形学等领域。向量之间不仅可以进行加减运算，还可以进行乘法运算。常见的向量乘法包括点积（数量积）和叉积（向量积）。下面将对这两种乘法方式进行总结，并以表格形式展示它们的定义、性质及应用场景。
一、点积（数量积）
点积是两个向量之间的乘法运算，其结果是一个标量（即一个数值）。点积常用于计算两个向量之间的夹角、投影长度等。
定义：
设向量 a = (a₁, a₂, ..., aₙ) 和 b = (b₁, b₂, ..., bₙ)，则它们的点积为：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n
$$
性质：
- 交换律：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$
- 分配律：$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$
- 数乘结合律：$k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = (k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot (k\mathbf{b})$
应用场景：
- 计算两向量之间的夹角
- 求向量在某个方向上的投影
- 在物理学中计算功（力与位移的点积）
二、叉积（向量积）
叉积是两个三维向量之间的乘法运算，其结果是一个向量，该向量垂直于原来的两个向量所在的平面。
定义：
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的叉积为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
性质：
- 反交换律：$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$
- 分配律：$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$
- 数乘结合律：$k(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (k\mathbf{b})$
应用场景：
- 计算平面的法向量
- 在物理学中计算力矩、磁力等
- 在计算机图形学中处理旋转和视角变换
三、对比总结表
| 项目 | 点积（数量积） | 叉积（向量积） |
| 结果类型 | 标量 | 向量 |
| 维度要求 | 任意维度 | 仅适用于三维向量 |
| 运算方式 | 对应分量相乘后求和 | 使用行列式展开或右手法则计算 |
| 几何意义 | 表示向量间夹角、投影 | 表示垂直于两向量的向量，大小表示面积 |
| 物理应用 | 功、能量、投影 | 力矩、磁场、旋转方向 |
| 交换性 | 交换律成立 | 反交换律成立 |
通过上述内容可以看出，点积和叉积虽然都是向量的乘法运算，但它们在数学表达、几何意义以及实际应用中有着明显的区别。掌握这些公式有助于更深入地理解向量在不同领域的应用价值。
