【向量的叉乘运算法则】在三维几何与物理中，向量的叉乘（又称向量积）是一种重要的运算方式，用于计算两个向量之间的垂直向量。叉乘的结果是一个与原向量都垂直的新向量，其方向由右手定则决定，大小则与两个向量的夹角有关。
以下是关于向量叉乘的基本法则和相关性质的总结。
一、基本定义
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的叉乘记为 a × b，结果是一个新的向量，其计算公式如下：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
也可以写成：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
$$
二、叉乘的性质
| 性质 | 描述 | ||||||
| 1. 反交换律 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ | ||||||
| 2. 分配律 | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ | ||||||
| 3. 数乘结合律 | $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{a} \times (k\mathbf{b})$ | ||||||
| 4. 与零向量的关系 | $\mathbf{a} \times \mathbf{0} = \mathbf{0}$ | ||||||
| 5. 与自身叉乘 | $\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}$ | ||||||
| 6. 垂直性 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 与 a 和 b 都垂直 | ||||||
| 7. 模长关系 | $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta$，其中 θ 是两向量夹角 |
三、叉乘的应用
- 求平面法向量：已知平面上的两个向量，可通过叉乘得到该平面的法向量。
- 计算力矩：在物理学中，力矩是位移向量与力向量的叉乘。
- 判断方向：通过右手定则判断叉乘结果的方向。
- 三维图形处理：在计算机图形学中，叉乘用于计算光照、旋转等。
四、注意事项
- 叉乘仅适用于三维空间中的向量。
- 叉乘结果是一个向量，不是标量。
- 当两个向量共线时，叉乘结果为零向量。
- 叉乘不满足交换律，即 a × b ≠ b × a。
通过以上内容可以看出，向量的叉乘不仅具有明确的数学表达式，还具备丰富的几何意义和实际应用价值。掌握其运算法则和性质，有助于更好地理解和应用这一重要工具。
