【向量积计算公式】在三维几何和物理中，向量积（也称为叉积）是一种重要的运算方式，用于计算两个向量之间的垂直向量。向量积的结果是一个与原两向量都垂直的新向量，其方向由右手定则决定，大小等于两个向量所形成的平行四边形的面积。

一、向量积的基本概念

设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和向量 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的向量积记作 a × b，结果为一个新向量 c = (c₁, c₂, c₃)，满足以下性质：

- 方向：垂直于 a 和 b 所在的平面；

- 大小：a × b = absinθ，其中 θ 是两向量之间的夹角；

- 右手定则：若手指从 a 指向 b，拇指指向 a × b 的方向。

二、向量积的计算公式

向量积 a × b 的计算公式如下：

$$

a \times b =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

也可以写成分量形式：

$$

a \times b = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)

$$

三、向量积的性质总结

四、向量积的应用场景

五、示例计算

假设向量 a = (1, 2, 3)，向量 b = (4, 5, 6)，求 a × b：

$$

a \times b = (2×6 - 3×5,\ 3×4 - 1×6,\ 1×5 - 2×4) = (12 - 15,\ 12 - 6,\ 5 - 8) = (-3,\ 6,\ -3)

$$

因此，a × b = (-3, 6, -3)。

总结：向量积是向量运算中非常重要的工具，广泛应用于数学、物理和工程领域。掌握其计算方法和基本性质，有助于更深入地理解空间几何关系及物理现象。