【向量积怎么求】在向量运算中，向量积（又称叉积）是两个向量之间的一种乘法运算，结果是一个与原两向量都垂直的新向量。向量积在物理学、工程学和计算机图形学中有广泛应用，例如计算力矩、旋转方向等。
下面将从定义、计算方法、性质以及应用等方面进行总结，并通过表格形式清晰展示关键内容。
一、向量积的基本概念
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 向量积是两个三维向量之间的乘法运算，结果是一个新的向量 |
| 符号 | 通常表示为 a × b 或 a ∧ b |
| 维度 | 必须为三维向量（或二维向量通过补充0变为三维） |
| 结果方向 | 垂直于原两向量所在的平面，方向由右手定则决定 |
二、向量积的计算方法
设向量 a = (a₁, a₂, a₃)，b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的向量积 c = a × b 可以通过以下方式计算：
1. 公式法（行列式法）
$$
\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
展开后得到：
$$
\mathbf{c} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
2. 分量计算法
$$
\mathbf{c} = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)
$$
三、向量积的性质
| 性质 | 描述 | ||||||
| 反交换性 | a × b = - (b × a) | ||||||
| 分配律 | a × (b + c) = a × b + a × c | ||||||
| 与标量相乘 | k(a × b) = (ka) × b = a × (kb) | ||||||
| 零向量 | 若 a 与 b 平行，则 a × b = 0 | ||||||
| 模长 | a × b | = | a | b | sinθ，其中 θ 为两向量夹角 |
四、向量积的应用
| 应用领域 | 说明 |
| 力矩计算 | 在力学中，力矩是位置向量与力的向量积 |
| 旋转方向 | 在计算机图形学中用于判断旋转方向 |
| 法向量计算 | 用于确定平面的法线方向 |
| 磁场中的洛伦兹力 | 电荷在磁场中受力的方向由速度与磁场的向量积决定 |
五、小结
向量积是一种重要的向量运算，其结果不仅是一个向量，而且具有明确的方向和大小。理解它的计算方法和性质有助于在多个科学和工程问题中灵活运用。通过公式法或分量法，可以快速求得两个向量的向量积，进而用于解决实际问题。
总结表格：
| 项目 | 内容 | ||||
| 定义 | 两个向量的乘积，结果为一个垂直于两向量的向量 | ||||
| 计算方式 | 行列式法或分量计算法 | ||||
| 方向 | 由右手定则决定 | ||||
| 模长 | a | b | sinθ | ||
| 应用 | 力矩、旋转方向、法向量、洛伦兹力等 |
如需进一步了解向量积的几何意义或实际例子，可继续深入探讨。
